Lehrplan FOS/BOS: Mathematik 12 (Technik)

Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

• entscheiden über die Existenz und Lage von absoluten Extrempunkten und Randextrempunkten eines Funktionsgraphen. Damit ermitteln sie auch die Wertemenge der zugehörigen Funktion.
• berechnen die Änderungsrate einer Größe mithilfe von Ableitungsfunktionen und bestimmen insbesondere Stellen stärksten Wachstums und stärkster Abnahme.
• entscheiden, ob sich aus vorgegebenen Informationen bzgl. einer ganzrationalen Funktion f und ihrer Ableitungsfunktionen (bzw. deren Graphen) ein zugehöriger Funktionsterm f(x) ermitteln lässt. Damit bestimmen sie weitere Eigenschaften des zugehörigen Graphen von f. Ggf. auftretende Gleichungssysteme lösen sie routiniert mit bekannten Lösungsverfahren.
• lösen anwendungsorientierte Optimierungsprobleme (z. B. das Problem des geringsten Materialverschnitts) mit den Methoden der Differenzialrechnung. Dabei achten sie auf die Verwendung einer sinnvollen Definitionsmenge für die zur Modellierung verwendeten Zielfunktion und berücksichtigen deren ggf. vorhandene Randextrema bezüglich dieser Definitionsmenge.
• beschreiben und begründen, wie der Graph einer Funktion mit dem Verlauf des Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion bzw. der zugehörigen Stammfunktion zusammenhängt, um ausgehend vom Graphen einer dieser beiden Funktionen den qualitativen Verlauf des jeweils anderen Funktionsgraphen zu skizzieren.
• schließen aus dem Term einer Funktion auf die Terme der zugehörigen Stammfunktionen.

Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

• beschreiben und ermitteln die grundlegenden Eigenschaften der Funktion x ↦ a‧b^{c‧(x - d)} + y₀ (b > 0), um bei exponentiellen Vorgängen in Realsituationen Vorhersagen zu treffen.
• entscheiden, welchen Einfluss eine Veränderung der Werte der Parameter a, b, c, d und y₀ jeweils auf den Verlauf des Graphen der Funktion x ↦ a‧b^{c‧(x - d)} + y₀ (b > 0 und insbesondere b = e) hat. Umgekehrt bestimmen sie anhand eines vorgegebenen Graphen einer solchen Funktion möglichst viele Informationen über den zugehörigen Funktionsterm.
• modellieren den exponentiellen Zusammenhang zweier Größen in anwendungsorientierten Problemstellungen (z. B. Kapitalverzinsung, radioaktiver Zerfall, Bakterienwachstum) durch geeignete Funktionen, um Aussagen über die Entwicklung einer Größe in Abhängigkeit der anderen Größe zu treffen.
• berechnen, für welche Werte der unabhängigen Größe (z. B. Zeit t) die abhängige exponentiell wachsende Größe (z. B. Anzahl der Bakterien) bestimmte Werte annimmt, um beispielsweise Vorhersagen bezüglich der zeitlichen Entwicklung einer Populationsgröße zu treffen. Beim Lösen der auftretenden Exponentialgleichungen verwenden sie die Logarithmen und die Logarithmusgesetze sicher.

Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

• diskutieren die Eigenschaften von Funktionen der Form x ↦ f(x)‧ e^g(x) + y₀ und x ↦ h(e^x). Dabei sind f, g und h lineare oder quadratische Funktionen. Die in diesem Zusammenhang auftretenden Ableitungen berechnen sie unter Verwendung der Kettenregel und der Produktregel. Darüber hinaus zeichnen bzw. skizzieren sie die Funktionsgraphen unter Verwendung der diskutierten Eigenschaften dieser Funktionen.
• lösen anwendungsorientierte Problemstellungen (z. B. Analyse der Entwicklung der Schadstoffkonzentration in der Atmosphäre), bei denen durch Idealisierung und/oder Modellierung Funktionen der Form x ↦ f(x)‧e^g(x) + y₀ auftreten. Dabei sind f und g lineare oder quadratische Funktionen.

Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

• führen den Nachweis, dass eine vorgegebene Funktion F eine Stammfunktion von f ist.
• bestimmen neben Termen von Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen auch Terme von Stammfunktionen für Funktionen der Form x ↦ a‧e^{c‧(x - d)} + y₀ und x ↦ h(e^x). h ist dabei eine ganzrationale Funktion vom Grad höchstens zwei.
• berechnen mithilfe von Stammfunktionen Werte von bestimmten Integralen, um damit Flächenbilanzen und Maßzahlen von Flächeninhalten endlicher Flächenstücke zu bestimmen, die durch vertikale Geraden und/oder Graphen von ganzrationalen Funktionen begrenzt sind, und nutzen ihr Verständnis, dass das bestimmte Integral eine Flächenbilanz beschreibt, für Argumentationen im Sachzusammenhang.

Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

• ermitteln das Spatprodukt dreier Vektoren sowie dessen Betrag, um damit u. a. die Maßzahl der Rauminhalte von geometrischen Körpern (z. B. Spat, Pyramide) zu berechnen.

Kompetenzerwartungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

• beschreiben Geraden und Ebenen in einem Koordinatensystem des IR³ durch geeignete Gleichungen in Parameterform und ermitteln für Ebenen auch mögliche Gleichungen in Koordinatenform und Achsenabschnittsform, z. B. mithilfe des Normalenvektors der Ebene.
• bestimmen die gegenseitige Lage zwischen gleichartigen und verschiedenen Objekten (Punkt, Gerade, Ebene) in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³, berechnen Abstände zwischen ihnen (in der Regel mit der Lotfußpunktmethode) und ermitteln vorhandene Schnittmengen und die Größe von Schnittwinkeln. Damit lösen sie auch anwendungsbezogene Probleme.
• berechnen die Koordinaten der Spurpunkte von Geraden, die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von Ebenen sowie die Gleichungen der Spurgeraden von Ebenen im Koordinatensystem, um damit die Lagen von Geraden und Ebenen im Koordinatensystem des IR³ zu beschreiben.
• folgern aus Geradenund Ebenengleichungen eventuell vorhandene spezielle Lagen der zugehörigen Geraden und Ebenen im Koordinatensystem des IR³ und verbalisieren diese speziellen Lagen. Ebenso fertigen sie damit Schrägbildskizzen dieser Geraden und Ebenen an.